我国是最先提出使用小数的国家。早在公元3世纪(约260年),我国古代数学家刘徽就提出,把整数个位以下无法标出名称旳部分称为微数,即小数的前身。

最早提出小数的名称的,是我国元代数学家朱世杰(约生活于公元13至14世纪)。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

刘徽的割补术为“出入相补原理”：一个平面图形由一处移至他处，面积不变。

又若把图形分割成若干块，那么各部分面积和等于原来图形的面积，因而图形移置前后各个面积的和、差有简单的相等关系。

立体图形也是这样。

他的“出入相补”原理。

出入相补，也就是“以盈补虚”。

这种以盈补虚出入相补的证明方式从刘徽之后，一直是中国古代数学推导图形面积公式的传统方法。

我来告诉你刘徽与他“割圆术”。

刘徽用极限思想解决数学问题的一个最杰出的典范，是他所创立的“割圆术”——即用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积的方法

“割圆术”是中国数学史上的一个伟大创举。运用这一方法,刘微求得了圆周率π=3.14和π=3.1416这两个较为精密的近似数值。这个结果是当时世界上的最佳数据。

关于圆的周长和其直径之间的比率问题(即圆周率),是古今中外数学家们共同感兴趣并一直孜孜以求的重要问题。中国古代从先秦开始,一直取“周三径一”(即π=3)的数值来进行有关圆的计算。但是用这个数值进行计算的结果误差很大。按照刘徽的分析,用“周三径一”算出来的周长,实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长。东汉的张衡不满足这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手,得到圆周率π≈3.16。刘徽认为这个结果“增周太多，过其实矣",即计算出来的圆周长要超过实际的圆周长。“失之远矣”，也不精确，刘徽以极限思想为指导,首创“割圆术”以求圆周率,从此为四周率的计算指出了一条科学的道路。

传说“割圆术”是这么发明的

相传有一天，刘徽看到石匠在加工石料。石匠们接过一块四四方方的大青石，先斫去石头的4个角，石头就变成一块八角形的石头，然后再斫掉8个角，石头变成了16角形。这样一斧一凿地敲下去，一块方石就在不知不觉中被加工成了一根光滑的圆石柱了。刘徽看呆了。突然间，脑子里灵光一闪，他赶紧回到家里，立刻动手在纸上画了一个大圆，然后在圆里面画了一个内接正六边形，用尺子一量，六边形的周长正好是直径的3倍。然后，他又在圆里面画出内接正１２边形、２４边形、４８边形……他惊喜地发现，圆的内接正多边形的边数越多，它的周长就和圆的周长越接近。刘徽最伟大的发明“割圆术”出现了。

刘徽的“割圆术”是在为《九章算术》卷一“圆田术”所作的注文中提出来的

《九章算术》“圆田术”给出了一个求圆面积的方法。即在已知圆的直径和它的周长的情况下，“半周半径相乘得积步”，即圆面积= 周长 直径。这个方法是如何得来的，它的理论根据是什么,它的正确性又如何，这些向题《九章算术》都没有说.《九章算术》只是给出了一个结论而未作任何证明。刘徽对这个公式作了详细的证明，并且在证明中提出了他的创造性的思想.

这一段注文引述如下:

按半周为从。半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚（念gū古同弧）之一面,与圆径之半,其数均等。合径率一百外周率三也。又按为图.以六觚之一面乘半径。因而三之。得十二觚之幂。若又割之。次以十二觚之一面乘半径。因面六之,则得二十四觚之幂.割之弥细,所失弥少。割之又割，以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。觚面之外，犹有余径,以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者。与图合体,则表无余径。表无余径,则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之.每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此以周径,谓至然之数，非周三径一率也。周三者从其六觚之环耳。以推圆规多少之较,乃弓之于弦也。然世传此法，莫肯精核。学者踵古,习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象,不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之,其用博矣。

刘徽这一大段论述,可以把他的证明分解为以下三步:

一、在刘微看来.用“周三径一”计算出来的圆周长,实际上是圆内接正六边形的周长,它与圆周长相差很多;但我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六段弧的基础上,再继续等分,把每段弧再分割为二,做出一个圆内接正十二边形,那么这个内接正十二边形的周长就要比正六边形的周长更接近于圆周了;如果把圆周再继续分割,使成一个圆内接正二十四边形，那么这个圆内接正二十四边形的周长又比正十二边形的周长更接近圆周。“割之弥细,所失弥少。”越是分割得细,其内接正多边形的周长就越是接近圆周,如此不断地分割下去，“割之又割,以至于不可制，则与圆合体面无所失矣",即到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周一致而“合体”了。

二、当求圆内接正多边形的面积时，可以把觚面与半径相乘。这时候,觚面把与它垂直的半径切成两段，在觚面之外还有一段余径,把觚面与从圆心到觚面的这一段径相乘，其积刚好是以圆心为顶角、以觚面为底边的等腰三角形面积的两倍,这没有什么问题.问题是觚面与余径相乘,其积是一个长方形,面积要超出圆周之外。但是，当圆内接正多边形的边数无限增多,觚面的长度无限减小到“不可割”的点时,这个以无限小的觚面为底边、以圆心为顶角的等腰三角形的高就刚好等于半径，也就是“表无余径”了。“表无余径则幂不外出",觚面与半径相乘的面积就不会落到圆的外面去了。

三、可以把圆面积看作是无数个以无限小的觚面为底边、以圆心为顶角的等腰三角形面积的总和.已知等腰三角形的面积等于以它的底边为宽、以它的高为长的长方形面积的一半。所以我们还可以把这些等腰三角形的面积转化为长方形的面积来计算，即使它底边的总和为长方形的长,高为长方形的宽。根据前面的证明，当圆内接正多边形的边数无限增多,觚面的长度无限减小到"不可割"的点时。这些觚面长度的总和(也就是无限多的等腰三角形底边的总和),刚好等于图周;而这些等腰三角形的高,刚好等于半径。又因为觚面与半径相乘的面积是这个等腰三角形的两倍,因此实际上可以把这个长方形的长看作是圆周长的一半，而宽则为半径,即“半周为从，半径为广”。长方形的面积为长宽相乘.长既为圆的半周,宽又为圆的半径,所以“半周半径相乘得积步",其乘积就是圆的面积了.

刘徽的上述证明既巧妙,又严密，他两次使用了极限的方法

一是使圆内接正多边形的边数无限增多,使其周长无限逼近圆周长而以圆周长作为它的极限；

二是使无限多个等腰三角形的高逼近半径而以半径为其极限；

这样,半周与半径相乘等于圆面积的公式就有了理论的依据而颠扑不破了。所以刘微称其为“至然之数,非周三径一率也。"

有了割圆术这样的方法，再利用勾股定理进行严密的推算, 圆周率π=3.14和3.1416这两个数据，也就都不难得到了,以后的祖冲之求出 3.1415926<π<3.1415927.也正是刘徽这一方法进一步运用的合理结果。